Добрый день.
Апостиль на свидетельство о рождении ставят в архивно-информационном отделе ЗАГС г.Москвы (если св-во выдано в Москве, а также ещё в некоторых случаях). По ссылке более подробно написано.
http://zags.mgportal.ru/zags_portal/ru/servlices/o_802
Делают они это 3 дня (при каких-то условиях могут и сразу сделать, но, видимо, нужно сильно упрашивать
- стандартный срок 3 дня). Стоит 1500 руб. Оплатить можно там же на месте в автомате (возьмёт ещё комиссию в сто с чем-то рублей).
Вообще, апостиль на св-ве о рождении - вещь полезная: делается один раз, а пригодиться может потом в жизни в различных ситуациях (в том числе и когда уже совсем не ребёнок
).